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Niels Fabian Helge von Koch
Creado en 1904 por el matemático sueco Helgeron von Koch. También conocido como la Isla Tríada de Koch.
Es fácilmente representable con un lenguaje recursivo como es el Logo y en él encontramos la respuesta a la pregunta de Mandelbrot: ¿Cuánto mide la costa de Bretaña?
Para su construcción se comienza con un triángulo equilátero cuyos lados tengan longitud 1. En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo equilátero de lado 1/3 del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David, y así hasta el 8
Nos irá recordando a un copo de nieve perfecto, pero sus connotaciones matemáticas son aplastantes y sorprendentes:
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Su área es finita, pues siempre será menor que la del círculo que lo circunda, pero si calculamos la longitud de la línea que la encierra obtendremos que su límite es 8 ya que 3*4/3*4/3*4/3*4/3*………=
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Su trazado es continuo, pues no existe ninguna intersección
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A cada nivel añadido su longitud aumenta y su área también pero ésta será siempre finita por muchos niveles que subamos
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No es posible trazar una tangente en un punto de su perímetro
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La curva infinita limita en su interior con una superficie finita
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La longitud entre dos puntos cualesquiera de su perímetro es infinito
Dimensión fractal
Estudiemos este ‘monstruo’ matemático de principios de siglo para entenderlo un poco mejor.
Origen
La Isla de Koch proviene de la curva creada originariamente por Helge von Koch.
En la primera iteración de su construcción partimos del segmento unidad, lo seccionamos en 3 partes iguales y sobre la central construimos un triángulo equilátero eliminando el tercio de la base, consiguiendo pues 4 segmentos de longitud 1/3 del original, es decir con una longitud de 4/3.
En la segunda iteración repetimos el proceso con cada uno de los 4 segmentos resultantes de la 1ª y así en sucesivas iteraciones.
Su construcción la puedes ver en los siguientes gráficos.
iteración 0
iteración 1
iteración 2
iteración 3
Si entiendes el método usado para el estudio de la Isla de Koch, también llamada Copo de nieve de Koch, no tendrás problemas para deducir el de la Curva.
Estudio del Copo de nieve de Koch
Partiendo de la base de que el lado del triángulo original (iteración 0) vale 1:
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It. |
a |
lados |
long. lado |
nº triang. |
Una vez hemos conseguido la ecuación de recurrencia del nº de triángulos en la n-ésima iteración, procederemos a calcular la ecuación de recurrencia del área de uno de los triángulos iguales para la n-ésima iteración
.
cálculo de la altura (h) en función del lado (l)
cálculo del área del triáng. equil. de lado l
Sustituyo en A(n), l (lado) por su valor en la n-ésima iteración, tomando como lado =1 nos quedará:
Y multiplico la ecuación del número de triángulos iguales que forman la isla en la n-ésima iteración por la del área de un triángulo en la iteración n-ésima obteniendo así la ecuación de recurrencia del área de la Isla de Koch en la n-ésima iteración, sumándole el área del triángulo original (iteración 0) que no forma parte de la serie.
Calculando el límite de la serie anterior obtendremos el valor del área final, a la que sumaremos el área del triángulo original (del que partimos) y que no existe en la sucesión pues recordemos que es la iteración 0.
Es decir, 8/5 del área del triángulo original, que como era de lado=1 nos queda
.::fractales.org::. es el blog/página personal de Jl Andrés, profesor de oficio y tecnólogo de afición.
hola muy buen articulo sabes te pediría si tenes la demostracion en un espacio topologico R o Rn de tal forma de poder preparar un ejercicio de un funal de ecuaciones diferenciales parciales te lo agradecería
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Interesante, aunq creo q aun tendre q pensarlo un poco mas para poder programarlo y dibujarlo en la computadora, pero muy buen articulo, me llega
No creo que leas esto, pero dejaré mi duda por si acaso. No entiendo porqué al calcular el área del copo de nieve completo utilizas esa fórmula. Sumas el área del triángulo inicial (Ao) pero luego, al dividir el copo en triángulos iguales y volver a sumar, lo que haces es sumar dos veces el área del triángulo inicial. Crreo que la fórmula correcta sería sumar el área inicial al sumatorio de las áreas de los triángulos iguales entre sí, dada por la fórmula An = [(1/3)^2n * √3] / 4 , que se multiplicaría por el número de triángulos iguales que se calcularían mediante la fórmula 3 * 4^(n-1) .
Espero que la esto y resuelva mi duda, porque no consigo entender en qué falla mi razonamiento. Muchas gracias.
Un gran artículo, es impresionante ver q los copos de nieve tmb tienen una forma bien estructurada geometricamente, es muy interesante este tema de los fractales
muy buen articulo!, me ayudo para mi tarea de geometria! gracias
excel.lent article
el articulo me ha ayudado mucho, preparo examenes y me ha sido de gran utilidad.gracias