Waclaw Sierpinski; Karl Menger

La alfombra de Sierpinski y la esponja de Menger comparten muchas cosas en común. Un simple vistazo a sus visualizaciones nos ayudará a comprender.

Alfombra de Sierpinski

Esponja de Menger

La alfombra de Sierpinski es la proyección al plano bi-dimensional de la esponja de Menger, o si en vez de ver cuadraditos pequeños nos quedamos con sólo sus lados horizontales se convierte en el Conjunto de Cantor.

Lo único sobresaliente es el estudio de su perímetro, el resto es fácilmente deducible mirando los fractales citados anteriormente.

Estudio de la alfombra

Tomando l como la longitud del cuadrado original, tenemos 4l de perímetro en la iteración 0.

A cada iteración el lado de los cuadraditos resultantes será de

Con lo que tendremos que en la 1ª iteración el perÍmetro resultante nos dará

Iteración	Perímetro
0	4l
1
2
3
…	…
n

Las 3 dimensiones

Waclaw Sierpinski

El tetraedro de Sierpinski es la proyección del fámoso triángulo de Sierpinski al plano tridimensional, los triángulos se nos convierten en tetraedros y la 3ª dimensión nos esconde formas que quedan tapadas por los tetraedros dispuestos en primer plano.

Observa las 4 primeras iteraciones del tetraedro

Estudio del tetraedro

Su construcción sigue la misma pauta que el triángulo, con lo cual la longitud de la arista del tetraedro en la n-ésima iteración coincidirá con la del lado del triángulo de Sierpinski, es decir, si l=1

El número de tetraedros iguales en la n-ésima iteración vendrá expresado por:

La superficie total del tetraedro en la n-ésima iteración la calcularemos multiplicando el nº de tetraedros iguales por la superficie de uno de ellos, es decir

Si nos fijamos el área del tetraedro se mantendrá siempre constante, da igual en la iteración que la calculemos, pues las caras ocultas cubrirán exactamente los huecos externos.

Podemos comprobarlo en la 1ª iteración pues con 4 tetraedros es fácil entenderlo.

En cuanto al volumen en la n-ésim-a iteración, es evidente que multiplicaremos el volumen de uno por el nº de tetraedros en la n-ésima iteración, quedándonos

donde h (altura) en función del (arista) es

y A(base) o área de la base en función de la arista del tetraedro es

y sustituyendo nos queda finalmente

Y el volumen final es obvio si estudiamos el anterior término general:

A medida que aumentamos n, el tetraedro original se subdivide en 4ⁿ tetraedros secundarios que dajan multitud de huecos vacios del original, con lo cual cada vez tiene menos volumen (recordemos que el área permanerá constante) y en el límite su volumen será 0. Un estudio con muchas fórmulas pero que si lees detenidamente no tendrás problemas en asimilar.

Waclaw Sierpinski

El matemático polaco Waclaw Sierpinski, creó el triángulo fractal más famoso del mundo.

Partiendo de un triángulo equilátero de lado la unidad, recortamos el triángulo equilátero ,con la base invertida y de lado 1/2 del anterior, del centro del triángulo resultante de la iteración anterior (que en la 1ª iteración será el de lado la unidad).

Generación del Triángulo de Sierpinski hasta la 5ª iteración

 

Estudio del triángulo

Para calcular el número de triángulos en la n-ésima iteración seguimos el método usado para el Cuadrado de Cantor, obteniendo:

Iteración	Nº triángulos
0
1
2
…	…
n

Y tomando la longitud del lado del triángulo original igual a 1 queda que la longitud de los lados de los triángulos en la n-ésima iteración es:

Iteración	long. lado
0
1
2
…	…
n

Para el cálculo del área de las sucesivas aproximaciones al triángulo de Sierpinski en la n-ésima iteración, nos fijaremos en su proceso de construcción.

Del triángulo original de área A₀, marcamos los puntos medios de sus lados y los unimos formando un triángulo invertido que eliminamos del original, habiendo dividido pues, el triángulo en 4 partes iguales despreciando la central y consiguiendo 3/4 del área original en la primera iteración.

Aplicando este proceso en las siguientes iteraciones obtenemos:

Iteración	área
0
1
2
…	…
n

Finalmente el área final del Triángulo de Sierpinski lo calcularemos, evidentemente con el límite del término general de la sucesión anterior:

 

Dimensión fractal

Blaise Pascal

Como conocerás por Matemáticas, Blaise Pascal hizo aportaciones importantes a las Matemáticas y se codeo con personajes tan peculiares como Fermat. Entre sus aportaciones matemáticas nos dejó su famoso triángulo, llamado de Pascal en su honor, claro está.

Este triángulo nos muestra los números combinatorios y si observas y estudias con detalle el próximo gráfico puede ser que descubras su relación con otro famoso triángulo, pero en este caso fractal.

Si no ves la relación mira un poco más abajo y aprecia la disposición visual de los dígitos impares y pares en este curioso triángulo y evidentemente, verás una distribución en forma del famoso triángulo de Waclaw Sierpinski.

Los números pares serían los triángulos que vamos eliminando en sucesivas iteraciones.

Quizá el siguiente ejemplo sea mucho más gráfico.