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Ya publiqué dos post sobre este mismo tema : Fractal Reality 1 y Fractal Reality 2, pero como una imagen (y si es en movimiento mucho mejor) vale más que mil palabras, aquí os dejo un vídeo muy ejemplificador de los fractales que podemos encontrar a nuestro alrededor.

Extraído de uno de los episodios del programa Redes, de Eduard Punset.

El programa entero de Redes lo podéis descargar con la mula. He mirado en la web desde la que me lo bajé pero los enlaces han desaparecido, si encuentro otra de descarga directa, actualizaré este post y la pondré.

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Lo del mueble fractal es como el chiste del pan de 3 kilos: ¡que tiene mucha miga!

Pero para miga las galletas de Sierpinski que me he encontrado por la Red. Le diré al compañero que da las Mates en el Colegio que las introduzca en la asignatura para incentivar los fractales en el currículo de la ESO

Si queréis ver el proceso de creación y cocción de tan matemáticas galletas, entrar aquí, y me avisáis para tomar café el día que os decidáis hacerlas.

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El diseño recursivo es otro de los aspectos que sorprenden de la geometría fractal y más si nos referimos al diseño de un armario.

El único problema es que para aprovechar al máximo la capacidad de sus cajones debemos tener una macrohabitación y situarlo en el centro.

Vamos, que práctico, lo que se dice práctico no es. Todo hay que decirlo. Visita la web del diseñador.

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Waclaw Sierpinski; Karl Menger

La alfombra de Sierpinski y la esponja de Menger comparten muchas cosas en común. Un simple vistazo a sus visualizaciones nos ayudará a comprender.

Alfombra de Sierpinski

Esponja de Menger

La alfombra de Sierpinski es la proyección al plano bi-dimensional de la esponja de Menger, o si en vez de ver cuadraditos pequeños nos quedamos con sólo sus lados horizontales se convierte en el Conjunto de Cantor.

Lo único sobresaliente es el estudio de su perímetro, el resto es fácilmente deducible mirando los fractales citados anteriormente.

Estudio de la alfombra

Tomando l como la longitud del cuadrado original, tenemos 4l de perímetro en la iteración 0.

A cada iteración el lado de los cuadraditos resultantes será de

Con lo que tendremos que en la 1ª iteración el perÍmetro resultante nos dará

Iteración	Perímetro
0	4l
1
2
3
…	…
n

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Las 3 dimensiones

Waclaw Sierpinski

El tetraedro de Sierpinski es la proyección del fámoso triángulo de Sierpinski al plano tridimensional, los triángulos se nos convierten en tetraedros y la 3ª dimensión nos esconde formas que quedan tapadas por los tetraedros dispuestos en primer plano.

Observa las 4 primeras iteraciones del tetraedro

Estudio del tetraedro

Su construcción sigue la misma pauta que el triángulo, con lo cual la longitud de la arista del tetraedro en la n-ésima iteración coincidirá con la del lado del triángulo de Sierpinski, es decir, si l=1

El número de tetraedros iguales en la n-ésima iteración vendrá expresado por:

La superficie total del tetraedro en la n-ésima iteración la calcularemos multiplicando el nº de tetraedros iguales por la superficie de uno de ellos, es decir

Si nos fijamos el área del tetraedro se mantendrá siempre constante, da igual en la iteración que la calculemos, pues las caras ocultas cubrirán exactamente los huecos externos.

Podemos comprobarlo en la 1ª iteración pues con 4 tetraedros es fácil entenderlo.

En cuanto al volumen en la n-ésim-a iteración, es evidente que multiplicaremos el volumen de uno por el nº de tetraedros en la n-ésima iteración, quedándonos

donde h (altura) en función del (arista) es

y A(base) o área de la base en función de la arista del tetraedro es

y sustituyendo nos queda finalmente

Y el volumen final es obvio si estudiamos el anterior término general:

A medida que aumentamos n, el tetraedro original se subdivide en 4ⁿ tetraedros secundarios que dajan multitud de huecos vacios del original, con lo cual cada vez tiene menos volumen (recordemos que el área permanerá constante) y en el límite su volumen será 0. Un estudio con muchas fórmulas pero que si lees detenidamente no tendrás problemas en asimilar.

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