Un problema inacabado

Este es otro de los muchos ejemplos de lo unidos que están conceptos tan antagónicos como simplicidad y complejidad. El enunciado que voy a usar es bien simple:

Tomamos un número (semilla inicial) al que le aplicaremos un proceso iterativo consistente en que si es impar lo multiplicaremos por 3 y le sumaremos 1, en caso contrario (que sea par) lo dividiremos entre 2. Al resultado obtenido le aplicaremos el mismo procedimiento y así sucesivamente hasta que se entre en un bucle sin salida.

Gráficamente, la iteración a seguir, sería:

Entenderemos por Periodo (P) el número de iteraciones calculadas antes de que la sucesion de resultados caiga en un bucle sin salida. Pongamos varios ejemplos con semillas iniciales distintas para x₀:

¿Por qué no he tomado valores de x₀ consecutivos?

Fácil. Si hubiera cogido x₀=2 la sucesión hubiera caído al valor 1, si x₀=4 la sucesión hubiera sido 2 y 1. Si hubiera cogido x₀=5 la sucesión sería 16, 8, 4, 2 y1, es decir, he escogido valores que no formen parte de las sucesiones que voy obteniendo, porque si no su comportamiento es previsible.

Fácilmente podemos transcribir el proceso a cualquier lenguaje. Pongamos por caso el Turbo Basic. Las modificaciones van a gusto del consumidor. Fijaros que el código es simple y limpio y puede casi entenderse aún sin saber programar.

cls input "Numero";n while n<>1 if (n mod 2=0) then n=n/2 print n; else n=3*n+1 print n; end if wend end

Llegados a este punto cabría preguntarse si todas las semillas iniciales acaban cayendo en el ciclo .. 4, 2, 1 o de si existen otros ciclos de caída. Los matemáticos llevan años trabajando en el problema de 3n+1 sin obtener resultados al respecto y no hay atisbo de resolución para un problema de enunciado tan simple pero de comportamiento tan complejo y caótico.

Los complejos y los fractales

Para entender los fractales es necesario ciertos conocimientos matemáticos que no nos enseñan en la escuela elemental, sino en ciertos estudio superiores.

¿Es necesario comprender los números complejos para disfrutar de los fractales?

La verdad es que no, porque el gozo visual que sentimos al observar ciertos fractales surge en nuestra mente aún sin saber las 4 reglas elementales del cálculo, pero para entender el porqué de esa belleza, lo que se esconde en su interior y los secretos que nos aguardan al sumergirnos en ella necesitamos recurrir a los números complejos, pues los fractales son "hijos" de los complejos, viven, existen y se comprenden sólo gracias a estos números tan especiales.

De hecho, fractales tan bellos como el conjunto de Mandelbrot o los conjuntos de Julia, por citar los más famosos, se obtienen iterando una simple expresión compleja hasta el infinito ∞ y comprobando que tiene límite la sucesión creada.

Si no conoces el concepto de límite ni sucesión consulta el artículo correspondiente en la sección de Fractales que si no ha sido publicado es porque todavía estoy trabajando en él.

Concepto

El uso de números complejos es fundamental para la resolución de ecuaciones algebraicas en las que la solución es la raiz de un número negativo, es decir, ecuaciones del tipo:

¿Es resoluble?

Sabemos que un número + o – al elevarlo al cuadrado es siempre positivo, por tanto ¿qué número multiplicado por si mismo podrá tener el signo negativo?

La verdad es que en el campo de los Reales ninguno, por lo que para solucionar la expresión algebraica anterior hay que crear otro tipo de números con los cuales podamos evaluar dicha expresión: los complejos

Partimos creando un concepto nuevo, el deUnidad Imaginaria a la que llamaremos i y que cumple la condición:

con lo cual ya podemos resolver la ecuación:

Puestos a crear, creamos un conjunto de números llamados complejos que estarán compuestos de una parte real y otra imaginaria, respondiendo a la siguiente forma:

z=a+bi

Así, podremos trabajar más fácilmente con las expresiones del tipo tratándolas de la siguiente forma:

Operaciones

Como la expresión de un número complejo es un binomio, para operar con ellos nos atendremos a las reglas ordinarias del álgebra teniendo en cuenta que:

Suma

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

ejemplo: (3+2i)+(-2-i)=1+i

Multiplicación

(a+bi)+(c+di)=ac+adi+bci+bdii=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i

ejemplo: (3+2i)*(-2-i)=-6+2+(-3-4)i=-4+(-7)i

Procediendo de idéntica forma obtendríamos los resultados de la siguiente tabla para las 4 operaciones básicas:

OPERACIONES
+	(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
-	(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
*	(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
/

El plano complejo

Los números complejos se representan en el eje de coordenadas llamado eje de Argand, en honor a su creador. El diagrama o eje de Argand está representado por un eje cartesiano donde la parte imaginaria ocupa las ordenadas y la parte real, las abcisas.

Así, vemos que:

Con el diagrama de Argand podemos visualizar los números complejos como si fueran vectores, siendo su parte real y su parte imaginaria sus 2 coordenadas.

Al sumar gráficamente 2 complejos en el diagrama se comportan como si de 2 vectores (fuerzas) se tratase.

La multiplicación sigue las siguientes reglas:

En la multiplicación podrán presentarse los siguientes casos:

Recapitulando

el producto de 2 números complejos cuelesquiera podrá ocupar cualquier lugar dentro del plano de Argand, todo dependerá de los ángulos de los complejos que multipliquemos.

Si quieres hacer operaciones con complejos con calculadora: aquí

La confusión

Tiende a confundirse Caos y Fractales. Son dos términos que suelen venir parejos en las publicaciones, ora sin hacer distinciones, ora mezclando conceptos.

No son sinónimos y tienen comportamientos distintos, a pesar de compartir una formulación sencilla y que ciertos fenómenos caóticos tengan una estructura fractal (atractor).

Características

Descubrimiento

Los pitagóricos descubrieron los números irracionales y con ellos:

La crisis de los irracionales

Para este grupo de griegos comandados por Pitágoras, todo era número y el mundo y su armonía se representaban con números enteros y fracciones (división de números enteros).

¡Qué bellos los números enteros! Servían a la perfección a sus propósitos y entonces aparecen los irracionales y … el escándalo.

Pongamos por caso el cuadrado de lado la unidad y tracemos su diagonal, fijémonos en uno de los 2 triángulos resultantes.

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

Es decir, el cuadrado de la diagonal es 2.

Los griegos demostraron que no existe ningún número racional (ni entero ni fraccionario) cuyo cuadrado diera 2, con lo cual y de forma indirecta descubrieron los números irracionales.

Crisis, what’s crisis?

Que la diagonal del cuadrado de lado la unidad fuera un número no racional, supuso para los pitagóricos un duro revés en su teoría de la armonía del mundo y su expresión a través de los enteros. Hasta el momento todo lo habían construido en base a esa perfección y usando los racionales.

Un buen día alguien dibuja un cuadrado de lado 1 y resulta que no son capaces de medir la diagonal de algo tan perfecto según la estética y matemática clásica griega. Para colmo de males, es gracias al Teorema de Pitágoras, que pueden hallar el cálculo teórico de la diagonal:

Hispaso de Metaponte participó en el descubrimiento de los irracionales, pero fue expulsado de la escuela pitagórica por divulgarlo. Al tiempo, quizá por casualidad, murió víctima de un naufragio.

La visión perfeccionista, armónica y a la vez numérica del mundo pitagórico, se vino abajo merced a la aplicación de un Teorema creado por el fundador de la Escuela a una figura geométrica tan griega y perfecta a la vez, como pueda ser el cuadrado de lado 1. Con casos como éste, es normal sonreirse ante los caprichos del destino.

Ya nada volvió a ser como antes. Con los irracionales se abrió un nuevo campo en las Matemáticas de la época, un inmenso campo que lejos de agotarse es el caldo de cultivo de multitud de teoremas, trabajos, investigaciones y tesis por parte de los matemáticos.