Ya toca ver unos cuantos ejemplos de la vida real en el que el número de oro haga acto de presencia. Los de este artículo serán artificiales, es decir, creados por el hombre. Evidentemente, sus creadores conocían las propiedades de Phi y no dudaron de usar la divina proporción en sus obras.

La subjetividad es inherente a los gustos y cánones de belleza, pero algo debe tener el número de oro, para que su patrón nos resulte tan atractivo.  En ciertos rostros, edificios, plazas, composiciones, pinturas, .., la relación entre las partes y el todo sugieren un equilibrio visual que nos

atrae. Ahí es donde Phi aparece, encubierto o no, pero siempre haciendo su trabajo: captar la atención del observador.

TARJETAS DE CRÉDITO y DNI

Sí, las tarjetas de crédito están diseñadas en proporción aúrea, igual que el DNI.

La medida habitual en milímetros es de 85 de ancho por 53 de alto, lo que nos da un cociente de aproximadamente Phi.

Da igual la entidad emisora y el límite de la tarjeta ;-), la proporción siempre sale Phi, aproximadamente. Podéis comprobar si es un rectángulo aúreo o no siguiendo las instrucciones del artículo anterior.

PARTENÓN DE ATENAS

El famoso Partenón entre cuyos creadores se encontraba Fidias, es el ejemplo más conocido de la proporción aúrea entre sus dimensiones. Es uno de los primeros ejemplos en los que las relaciones entre sus elementos se hallan en relación al número de oro.

Φ aparece en las proporciones  AB/CD, AC/AD Y CD/CA

DALÍ

El genial pintor ampurdanés, hizo uso del Phi en numerosas ocasiones. Sirva de ejemplo LEDA ATÓMICA.

Su boceto a lápiz deja claramente a la vista la disposicón del pentágono y la estrella de cinco puntas formada por las diagonales del pentágono. Los pitagóricos tenían el pentágono como símbolo. Toda la composición se enmarca en un círuclo en el que un pentágono organiza el espacio. Este cuadro sintetiza siglos de tradición y simbología matemática, especialmente la pitagórica.

Otros ejemplos de esta disposición podemos verlos en la Sagrada Familia de Miguel Ángel:

Siguiendo con Dalí, veamos La última cena

LEONARDO DA VINCI

La famosa Gioconda, es otro claro ejemplo del uso de Phi como canon estético. Su rostro es una clara composición en la que Phi es el pincel con el que lo pintó Leonardo.

Los rectángulos aúreos distribuyen la serena belleza de la Gioconda.

El hombre de Vitruvio, dibujo de Leonardo para el libro del matemático Luca Pacioli de 1509, titulado por cierto, la DIVINA PROPORCIÓN, es el ejemplo de hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones aúreas.

Para un estudio detallado del hombre de Vitruvio y la proporción aúrea podéis visitar esta interesante página.

MIGUEL ÁNGEL

Visto el ejemplo ya de la Sagrada Familia, podemos poner otro de la obra más universal del genial escultor, el DAVID.

La impresionante escultura de Miguel Ángel El David se ajusta en varios sentidos a la Sección Áurea, desde la situación del ombligo con respecto a la altura, hasta la colocación de las articulaciones de los dedos.

LA ARMONÍA EN EL ROSTRO HUMANO

Las proporciones de armonía -no de belleza- de un rostro también se basan en el número de oro:

Este retrato de la joven Helen Wills sobre el que se han medido las proporciones es otro buen ejemplo del estudio de la armonía en el rostro. Para estos estudios se miden las distancias entre frente y barbilla, entre los ojos y la boca, entre la nariz y el mentón, … y se comparan entre sí.

CARACOLAS

El crecimiento de las caracolas sigue una espiral logarítmica que puede construirse a partir de un cuadrado aúreo, colocando un cuadrado a continuación del rectangulo anterior. Gráficamente sería:

ESCALERAS DE BRAMANTE (MUSEO VATICANO)

El mismo principio del ejemplo anterior. Creación de un efecto infinito gracias a una doble espiral (una escalera de subida y otra de bajada)

Démonos cuenta que ya tenemos Phi grabado en nuestro subconsciente y podemos observar dónde aparece sin tener que coger regla y calculadora para hacer proporciones.

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI

La famosa sucesión de Fibonacci es una serie compuesta por infinitos números naturales, que comenzando por 0 y 1, cada elemento posterior es la suma de los 2 anteriores.

Los primeros términos de dicha sucesión serían, por tanto:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .. y así hasta el infinito y más allá, como diría Buzz Lightyear.

Observemos los cocientes obtenidos de dividir los sucesivos pares de números de la sucesión original:

1  : 1   =  1   
2  : 1   =  2
3  : 2   =  1´5
5  : 3   =  1´66666666
8  : 5   =  1´6
13 : 8   =  1´625
21 :13  =  1´6153846….
34 :21  =  1´6190476….
55 :34  =  1´6176471….
89 :55  =  1´6181818….

¿A qué número parecen que convergen? Efectivamente, al número de oro. A Phi.

No os perdáis la oportunidad de ver el siguiente vídeo. Es muy instructivo.

Después de 2 artículos sobre el número de oro, queda patente que si Pi ha sido y es importante y básico para el desarrollo de nuestra sociedad, Phi rivaliza  con él en protagonismo.

Este hecho puede resultar tan importante para para un científico y pensador actual, como para el que se hizo el tatuaje de la siguiente foto.

A mí me interesan mucho estos temas, tanto que hasta escribo artículos para difundir estas áreas del conocimiento, pero no llego a tanto.

La geometría posee dos grandes tesoros; uno es el Teorema de Pitágoras;
El otro, la división de una línea entre la proporción media y extrema.
Al primero podemos compararlo con una medida de oro;
Al segundo podemos denominarlo una preciosa joya.

JOHANNES KEPLER (1571-1630)

Después de esta famosa cita de Kepler, veamos, ahora como construir un rectángulo aúreo de la manera más simple.

CONSTRUCCIÓN DE UN RECTÁNGULO AÚREO

Si lo hemos hecho bien, el segmento AC ha sido seccionado en proporción aúrea y el cociente de la proporción es Phi=1’619033987…

¿CÓMO SABER SI ES UN RECTÁNGULO AÚREO?

Es tan simple como colocar una copia del rectángulo resultante de manera vertical y trazar la diagonal del gráfico. Si toca a sólo 3 puntos será aúreo, si toca a 4 no lo será -que es lo que pasará a la mayoría-.

La belleza de Phi, la podemos observar en la disposición de los pétalos de una rosa, en la famosa pintura "Sacramento de la Última Cena" de Salvador Dalí, en las conchas espirales de los moluscos Nautilus Pompilius, en la cría de los conejos, en la estructura de las galaxias que tienen billones de estrellas, en botánica,…

La Proporción Aúrea ha sido utilizada por muchos artistas tanto plasticos como musicales para conseguir la llamada "efectividad visual" o "auditiva", es decir, proporción entre las partes y con relación al conjunto.

Phi -el número que en el siglo XIX fue bautizado con el nombre de "Número de Oro", "Proporción Aúrea" o "Sección Aúrea"- está detrás de todos estos y de miles más de ejemplos. Ya en el siglo XVI, Luca Pacioli publicó el libro "Divina Proportione", un completo tratado sobre Phi.

¿Recordáis el grabado de el hombre de Vitruvio, de Leonardo da Vinci?

Pues fue una creación de Leonardo para  el libro de Luca Pacioli.

El hombre de Vitruvio ha llegado a nuestros días, como el canon de belleza del Renacimiento. ¿Se capta la esencia de que en este grabado, el número Phi debe tener una vital importancia?

El siguiente vídeo es una maravilla del diseño. Hay que agradecer a Critóbal Vila esta inigualable creación tanto por su carácter didáctico como por la enorme calidad del producto. Las matemáticas en la naturaleza, y Phi en particular:

Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.

¿Desde cuándo se conoce este peculiar número?

Ya hemos visto que Euclides de Alejandría, alrededor del año 300 a. C., ya realizó una primera deficinicón de Phi como proporción derivada de la simple división de una línea en lo que denominó su "media y extrema razón".

Hipasio de Metaponto, filósofo griego perteneciente, como no, a la escuela pitagórica, descubrió en el siglo V a. C. que la proporción aúrea no era un valor entero ni fraccionario -los números preferidos de los pitagóricos y sobre los que asentaban su peculiar filosofía de ver el mundo-, sino que pertenecía a otro tipo de números hasta entonces desconocidos. los irracionales. Hipasio pregonó a los cuatro vientos su descubrimiento y rompió el voto de silenco jurado en su entrada a la escuela, lo que le valió su expulsión y la muerte en vida, pues sus amigos pitagóricos hasta le erigieron una tumba para tener siempre presente que Hipasio estaba muerto para ellos.

La proporción aúrea, en literatura matemática se ha designado con la letra griega Tau Τ, que significa "corte" o "sección", pero a principios del siglo XX, el matemático Mark Barr lo rebautizó con el nombre de Phi Φ, letra inicial de Fidias, aquel gran escultor griego creador del "Partenón"  y del "Zeus" del templo de Olimpia.

Dejaremos para el próximo artículo sobre este maravilloso número la construcción de un rectángulo aúreo de forma muy pero que muy simple y veremos ejemplos que demostrarán que Phi lleva con nosotros mucho tiempo, más incluso de lo que ya podamos intuir.

La divina proporción, el número de oro, la sección aúrea.

¿No habéis oído alguna vez estos términos?

Posiblemente la respuesta sea que sí, aunque oír es una cosa y entenderla, otra muy distinta.

Intentaré en una serie de artículos aclarar su concepto y ligarlo a lo cotidiano, para que entendamos la importancia de esta constante natural. También ligaremos el concepto de número de oro con los fractales.

El número de oro es conocido como número Phi o proporción aúrea. Aparece ligado constantemente a la naturaleza y al arte. Incluso compite con el conocido Pi en cuanto a popularidad. La famosa sucesión de Fibionacci y el rectángulo de oro, esconden el número Phi, igual que el crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas y cualquier estudio armónico del arte.

Sus orígenes se remontan a la Grecia del siglo V a. C. Los griegos hicieron de Phi un canon de belleza y numerosos ejemplos arquitectónicos dan fe de ese hecho.

El tatuado lo hizo antes de leer estos artículos :)))

Sería el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento, lo que daría lugar al descubrimiento de Phi. No hay constancia de que esto fuera así, pero es la explicación más pausible que se me ocurre.

Su valor numérico es:

¿Y de dónde aparece esta ecuación?

En el siguiente video tenéis una sencilla explicación de dónde surge.

Como podemos observar y deducir, Phi es un número irracional, como Pi y tiene infinitos decimales sin ninguna pauta de repetición, por lo que resulta imposible conocer su valor real. A efectos prácticos, funciona como el número Pi y unos cuantos decimales serán suficientes para nuestros cálculos.

Su nombre lo recibe del escultor griego Fidias y fue Euclides el primero en hacer un estudio formal de Phi en sus Elementos:

"Se dice que una línea recta está dividida entre el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor."

Quizás el gráfico siguiente nos sirva para visualizar mejor la definición de Euclides:

Existen infinitas formas de dividir un segmento en dos partes, pero solo una tal que la relación que haya entre el segmento total y la parte mayor sea igual a la existente entre las dos partes entre sí. Esa única forma es la proporción aúrea, es decir, Phi o lo que es lo mismo 1’61803… Cuando la relación entre dos magnitudes sea el número Phi, diremos que están en proporción aúrea.