Introducción

El Conjunto de Mandelbrot ha sido el estandarte ondeado al viento por los estudiosos y divulgadores de los fractales; ha sido el símbolo por antonomasia esgrimido para dar a conocer una nueva dimensión de la realidad … o una nueva realidad del concepto dimensión, según se vea.

Si esta afirmación os resulta un tanto oscura, recordar qué son los fractales releyendo el artículo, y vereis como puede cambiar la realidad según con los ojos con que miremos.

Publicaciones tan pretigiosas como la Scientific American han dicho de él que, hasta la fecha, es el objeto matemático más complicado creado por el hombre. Yo añadiría que también el más bello. Entrar en su interior es como abrir una ventana hacia un nuevo universo, es como el País soñado por Alicia.

¿Desde cuándo un objeto matemático nos ha permitido convertirnos en protagonistas y ser los primeros en ver su interior? El Conjunto de Mandelbrot así lo hará, pues su complejidad es infinita, igual que su tamaño y eso hará de él un objeto al abasto de cualquier aficionado a los ordenadores.

Si ya hemos leído los artículos sobre fractales, dimensión y Conjuntos de Julia, podemos continuar, sino más vale empezar por ahí para no perderse en la explicación.

El matemático japonés Shiskikura demostró en 1991 que la dimensión fractal del Conjunto de Mandelbrot es, exactamente, 2. Su demostración matemática es muy complicada y escapa tanto a mis conocimientos como al propósito de este artículo.

Si observamos el Conjunto de Mandelbrot se nos antoja a un muñeco de nieve tipo Michelín pero descansando de costado y con una gran cantidad de verrugas que rodean su silueta.

Así visualizó Mandelbrot su conjunto en 1980, en papel de impresora.

Visualización mejorada del original de Mandelbrot.

Llamemos, a partir de ahora, al Conjunto de Mandelbrot, Conjunto M, más que nada por abreviar.

Cuasi-autosimilitud

Las verrugas características de este cansado muñeco Michelin, una vez ampliadas nos desvelan su composición:

Pequeños Conjuntos M que se prodigan a todas escalas, por doquier y hasta el infinito, tal como podeis observar en las siguientes imágenes:

Cuasi-autosimilitud en el Conjunto M

Estos mini-Conjuntos M no son copias exactas del original, como ocurría con los Conjuntos J, sino que son cuasi-autosimilares, dependiendo, de varios factores:

• Grado de zoom
• Zona escogida del Conjunto M
• Nº de iteraciones

Esto hace del Conjunto M un fractal de los denominados no lineales, es decir, de aquellos en que se pierde la perfecta autosimilitud al variar la escala (zoom), pues este cambio introduce rasgos peculiares.

Un poco de historia

El Conjunto M toma el nombre de su descubridor, el matemático polaco Benoît Mandelbrot, que durante su estancia en el Centro de Investigación Thomas J. Watson de la IBM, estudió los fallos existentes en las líneas telefónicas de la red en la que trabajaba, llegando a la conclusión de que tenían una estructura cantoriana.

El ‘boom’

Decir Mandelbrot, es sinónimo de ‘fractal’. Todos asociamos los fractales a este insigne matemático polaco. No en vano, a él le debemos la creación del concepto ‘fractal’. Concepto dual, pues puede ser tanto sustantivo como adjetivo, y también fue Mandelbrot quien en un primitivo IBM visualizó en blanco y negro el conjunto que hoy lleva su nombre y que podemos ver al comienzo del artículo.

Mandelbrot es considerado el padre de los fractales, y en cierto modo es verdad, no ya por inventarlos, cosa totalmente incierta, sino por aglutinar ciertos estudios matemáticos y físicos en una rama propia de la Matemática y la Física, una rama real, con forma y sentido propios: un nuevo Universo por explorar.

Mandelbrot no inventó los fractales, los fractales estuvieron siempre listos para que alguien tropezara con ellos y diera cuenta de sus secretos. Han sido los compañeros invisibles del ser humano desde el inicio de la creación, como el caos, que viene a ser la mano invisible que mece la cuna.

Más historia

A finales del siglo XIX y principios del XX, la Matemática y la Física pasaron momentos difíciles. En el mundo matemático hubo tempestades cognitivas. Apareció la disquisición sobre los fundamentos de la Matemática, la confrontación entre la metodología abstracta y la constructiva, relaciones entre lógica y matemática, importancia de las paradojas en el desarrollo y estudio, la disputa entre los constructivistas-intuicionistas como Kronecker, Poincaré, Borel, Brouwer, … y los formalistas-logicistas como Cantor, Peano, Hilbert, Russell, …

Todos estos conflictos dieron lugar a una fructífera labor matemática por parte de ambos bandos. Sólo hay que pensar en los 23 problemas propuestos por Hilbert en su discurso en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en París. 23 problemas no resueltos en el momento de la conferencia y que han inspirado a los matemáticos de varias generaciones durante más de 100 años.

Estamos pues en la época de los ‘monstruos matemáticos’, llamados así por que no obedecían los preceptos euclidianos. Hablamos de la Curva de Hilbert, el Conjunto de Cantor, el Triángulo de Sierpinski, la Curva de Peano, …

Todo este material es el caldo de cultivo de los fractales, campo que no se limita a simples transposiciones en el plano de figuras geométricas sino que tiene un amplísimo y vasto campo de investigación y actividad sobre el que seguir trabajando durante decenas de años.

Mandelbrot fue el aglutinador de todo lo disperso en el campo de la Física y la Matemática sobre sistemas dinámicos complejos, fractales e incluso rescató el olvidado concepto de dimensión dado por Hausdorff y posteriormente modificado por Besicovitz a principios de siglo.

Es sobre este concepto de ‘dimensión’ sobre el que se cimentan las explicaciones sobre como las curvas fractales rellenan el plano y, por lo tanto, tienen dimensiones fraccionarias.