.::fractales.org::.

Estudio del triángulo

Para calcular el número de triángulos en la n-ésima iteración seguimos el método usado para el Cuadrado de Cantor, obteniendo:

Iteración	Nº triángulos
0
1
2
…	…
n

Y tomando la longitud del lado del triángulo original igual a 1 queda que la longitud de los lados de los triángulos en la n-ésima iteración es:

Iteración	long. lado
0
1
2
…	…
n

Para el cálculo del área de las sucesivas aproximaciones al triángulo de Sierpinski en la n-ésima iteración, nos fijaremos en su proceso de construcción.

Del triángulo original de área A₀, marcamos los puntos medios de sus lados y los unimos formando un triángulo invertido que eliminamos del original, habiendo dividido pues, el triángulo en 4 partes iguales despreciando la central y consiguiendo 3/4 del área original en la primera iteración.

Aplicando este proceso en las siguientes iteraciones obtenemos:

Iteración	área
0
1
2
…	…
n

Finalmente el área final del Triángulo de Sierpinski lo calcularemos, evidentemente con el límite del término general de la sucesión anterior:

Características

Estudio de la esponja

El nº de cubos en la n-ésima iteración es simple de calcular, pues en la 1ª iteración conseguiríamos un cubo de Rubik, es decir 3³=27 cubos iguales.

Agujereando el cubo original por los centros de sus caras eliminaremos 7 cubos, quedándonos con sólo 20.

Repitiendo el mismo proceso en la 2ª iteración obtendremos 20×20 cubos y haciendo extensivo el proceso en sucesivas iteraciones tenemos:

La iteración a aplicar para construir la esponja nos obliga a dividir cada arista en 3 partes para así, al seccionarlo, conseguir 3³=27 cubos iguales, de los cuales eliminaremos 7 [6 (los centrales de cada cara)+1(el interno)].

Si partimos de que la arista primitiva toma el valor 1, la longitud de la arista de los cubos resultantes en la n-ésima iteración será

A poco que nos hayamos fijado, observaremos que este resultado coincide con la longitud del lado para el cuadrado de Cantor, pues en el proceso de construcción dividimos por 3 el cuadrado y/o arista del caudrado y/o cubo.

Para calcular el volumen en la n-ésima iteración, multiplicaremos el nº de cubos generados en la n-ésima iteración por el columen de cada uno.

El volumen de cada uno de los cubos es 20/27 de su arista al cubo, con lo cual

nº cubos*(29/27)l₃

y partiendo de un lado y/o arista igual a 1

El volumen final será el límite de la anterior expresión:

La superficie en la n-ésima iteración, sin tener en cuenta las caras coincidentes vendrá expresada por

6*(1/9)ⁿ*20ⁿ

Calculando el límite obtendremos la superficie final

• Su área es finita, pues siempre será menor que la del círculo que lo circunda, pero si calculamos la longitud de la línea que la encierra obtendremos que su límite es 8 ya que 3*4/3*4/3*4/3*4/3*………=
• Su trazado es continuo, pues no existe ninguna intersección
• A cada nivel añadido su longitud aumenta y su área también pero ésta será siempre finita por muchos niveles que subamos
• No es posible trazar una tangente en un punto de su perímetro
• La curva infinita limita en su interior con una superficie finita
• La longitud entre dos puntos cualesquiera de su perímetro es infinito

Estudiemos este ‘monstruo’ matemático de principios de siglo para entenderlo un poco mejor.

Origen

La Isla de Koch proviene de la curva creada originariamente por Helge von Koch.

En la primera iteración de su construcción partimos del segmento unidad, lo seccionamos en 3 partes iguales y sobre la central construimos un triángulo equilátero eliminando el tercio de la base, consiguiendo pues 4 segmentos de longitud 1/3 del original, es decir con una longitud de 4/3.

En la segunda iteración repetimos el proceso con cada uno de los 4 segmentos resultantes de la 1ª y así en sucesivas iteraciones.

Su construcción la puedes ver en los siguientes gráficos.

iteración 0

iteración 1

iteración 2

iteración 3

Si entiendes el método usado para el estudio de la Isla de Koch, también llamada Copo de nieve de Koch, no tendrás problemas para deducir el de la Curva.

Estudio del Copo de nieve de Koch

Partiendo de la base de que el lado del triángulo original (iteración 0) vale 1:

Una vez hemos conseguido la ecuación de recurrencia del nº de triángulos en la n-ésima iteración, procederemos a calcular la ecuación de recurrencia del área de uno de los triángulos iguales para la n-ésima iteración

.

cálculo de la altura (h) en función del lado (l)

cálculo del área del triáng. equil. de lado l

Características