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La espiral de Lorenz

El matemático Edward Lorenz usaba su ordenador Royal McBee para desentrañar la maraña matemática que él mismo había creado con sus doce ecuaciones para predecir el tiempo atmosférico en el Massachusetts Institute of Technology. Era el año 1960.

Su pasión por el pronóstico atmosférico le vino durante la 2ª Guerra Mundial. Tras su graduación en Matemática Pura en el Dartmouth College en 1938 participó en la contienda diagnosticando el tiempo para las fuerzas aéreas.Transcurrida la guerra, optó por dedicar sus esfuerzos matemáticos aplicándolos a la metereología.

La predicción del tiempo se debía regir por ecuaciones, al igual que las órbitas de los planetas, satélites y galaxias, quizá más complicadas pero ecuaciones al fin y al cabo. Para ello escogió 12 funciones, unas establecían el vínculo entre velocidad y viento, otras entre presión y temperatura y así unas cuantas variables más. No le promovía un interés meramente físico sino también matemático.

Su trabajo fue en boca en boca por el MIT, llegando a tal punto que se organizaban apuestas sobre los pronósticos que darían las ecuaciones de Lorenz.

Hojeando los rollos y rollos de papel con datos numéricos que escupía su impresora, Lorenz ideó un método para que el ordenador señalara cada minuto el paso de un día imprimiendo una hilera de números.

En 1961, Lorenz cansado de observar ese vaivén numérico salido de la impresora de su ordenador, intentó atajar partiendo de una sucesión anterior pero al traspasar los dígitos sólo tecleó 3 en vez de los 6 originales, esperando que el comportamiento no cambiaría.

Los resultados obtenidos trajeron de cabeza a Lorenz pues no eran los esperados y revisó el software y hardware hasta darse cuenta finalmente, que el error lo cometió al truncar el valor inicial de la función cambiando el input de 0,506127 a 0,506.

No creyó que una variación tan pequeña pudiera comportar un cambio tan radical de la función al cabo de unas cuantas iteraciones.

Aquí puedes observar gráficamente un ejemplo para 12 iteraciones de la funciónf(x)=x², en la que se coge el valor de la iteración anterior y se eleva al cuadrado. He realizado dos series: la primera de ellas parte de un valor inicial x=1,0001 y la segunda de un valor inicial x=1,001. El comportamiento de las dos es parecido en las primeras iteraciones y progresivamente comienza a variar, desapareciendo cualquier parecido a partir de la iteración número 10.

Había dado con "el efecto mariposa". Este redondeo insignificante era el aleteo de la mariposa; y el comportamiento anómalo, o digamos inesperado, de la función el huracán que se produciría el próximo mes en Tokio.

Cualquier pronóstico climatológico se deteriora rápidamente por culpa de un viento, de una entrada de aire caliente, por una bajada de presión, por una tormenta inesperada …, ese error va creciendo geométricamente y la realidad al día siguiente no es la esperada sino otra totalmente distinta: donde haría sol, llueve; donde llovería, luce el sol; donde se podría ir a la playa, se encierran en el sótano hasta que pase el huracán; etc.

A su descubrimiento lo llamó Lorenz "Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales" y con ello creó la base de una nueva ciencia: el Caos, ciencia que no resurgiría hasta bien pasados los años, cuando los colegas de Lorenz dejaron de ver su descubrimiento como simple distracción matemática y se cercioraron de la grandeza de su trabajo. Fue entonces, cuando el boom del caos se produjo en el status científico, y todos pretendían verlo, incluso en lugares donde no existe.

Lorenz animado por su descubrimiento, decidió comenzar a experimentar con sus resultados en el campo de las corrientes de fluidos y sus 12 fórmulas se vieron reducidas a 3 simples ecuaciones no lineales.

Las ecuaciones lineales expresan relaciones proporcionales y su representación gráfica siempre una recta, adoptando la formaf(x)= ax+b. Las no lineales no son tan simples e intervienen una serie de factores a veces en mayor y otras en menor medida como pueda ser el rozamiento, cuyo valor depende de la clase de firme, del peso y velocidad del móvil.

Sus 3 ecuaciones respondían al funcionamiento de una noria de agua cuyo suministro de agua dista de ser idóneo. El aparentemente sencillo comportamiento de tan simple sistema mecánico se transforma en sorprendentemente complicado cuando el suministro de agua supera al deseado y por los cajones de la noria no se desagua lo suficiente para superar la fricción y seguir con su movimiento y velocidad uniforme.

La velocidad de la noria aumenta y los cajones no se llenan por igual con lo cual llegará un momento que el peso de los cajones que faltan por llenarse vencerá la fricción y la rueda comenzará a girar en sentido contrario y seguirá repitiéndose este proceso de cambio de sentido pero sin una pauta determinada ni predecible. Tanto podrá cambiar 5 veces en 10 minutos como estar otros 10 minutos sin cambiar o cambiar 5 veces en los 3 minutos siguientes.

Esta aparente azarosidad, depende de:

• El aumento de la velocidad de giro de la rueda
• El caudal suministrado
• Reducción del tiempo de llenado de los cajones
• Los cajones que no se han llenado vencen a la velocidad de giro

Lorenz representó gráficamente los resultados obtenidos con sus 3 ecuaciones en una gráfica tridimensional, asignando el valor obtenido de cada ecuación a una de las 3 dimensiones del plano euclídeo.

Al ver el gráfico resultante, llamado en adelante "atractor de Lorenz", Lorenz se encontró otra vez con el efecto mariposa, concretamente con sus alas.

La línea de la gráfica no se tocaba jamás, el desorden era total pues ningún punto se repetía ya que no había intersecciones, pero se dislumbró un nuevo tipo de "desorden ordenado": el caos.

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Concepto

El concepto atractor va ligado al de los "sistemas dinámicos". Si desconoces su significado consulta primero el artículo sistemas dinámicos y luego, retoma la lectura de los atractores.

En el ejemplo de los sistemas dinámicos hemos trabajado con las funciones del coseno y la raiz cuadrada. Fijaros que para la iteración 35 las funciones se han estabilizado y el resultado es siempre el mismo. Decimos entonces que ese resultado atrae a la función da igual el valor con el que empecemos, siempre tenderá a estabilizarse en ese valor. Actúa como un imán.

En los sistemas dinámicos ya hemos dicho que puede ser uno o varios valores sobre los que la función se estabiliza y evidentemente las funciones que rigen estos sistemas no son tan simples como cos(x).

Estos sistemas pueden comportarse de diferentes formas, pero muchos de ellos tras suficientes iteraciones (repetición de un cálculo simple) de las funciones que los determinan, su función tiende a estabilizarse en uno o más valores. Este conjunto de valores para los cuales la función f(x) se estabiliza cuando el número de iteraciones tiende a infinito (∞), se denomina "atractor".

Como atractores conocidos tenemos el de Lorenz, Hénon, KAM, Pickover y muchos otros.

La representación visual de un atractor es asunto interesante, sino fíjate en el siguiente gif animado:

Más ejemplos

Otro ejemplo bien claro de atractor sería un péndulo de pared. Este péndulo necesita de un empuje inicial mínimo para ponerse en funcionamiento y que su corrector interno pueda controlar. Da igual la intensidad del empujón mientras pase el mínimo, luego el mecanismo interno lo regula, bien frenándolo o acelerando, hasta hacer que su movimiento sea exacto y continuo. Es decir, lo estabiliza, frenándolo cuando lo necesita y acelerándolo cuando se frena; siempre con el único fin de que marque un ritmo periódico y exacto. Fijémonos que el mecanismo interno del péndulo lo que hace es estabilizarlo, y pasado cierto tiempo desde el primer empujón, se estabilizará recorriendo espacios iguales en tiempos iguales.

Esta es la idea de un atractor. Partiendo de un sistema dinámico cuyo movimiento y actividad resulta azaroso no repitiéndose 2 valores seguidos iguales, resulta que pasado cierto tiempo se estabiliza en ciertos valores independientemente de su funcionamiento primario.

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Teoría del Caos, la teoría del revuelo

Voy a plantear una cuestión cuya discusión nos llevará de lleno a sumergirnos en el Universo del Caos: "El efecto mariposa".

A saber:

 

Este concepto es el que se conoce como "Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales" que es determinante y básico para comprender este mundo tan maravilloso, tan caótico y regular a la vez.

El ‘efecto mariposa’ ya lo tenemos en la literatura anglosajona:

 

 

Es un ejemplo radical, pero que se ajusta perfectamente a nuestro propósito y que gracias a Dios, no suele darse.

Tendemos a pensar que si se varían las condiciones iniciales de un sistema un poquito, el resultado final será básicamente el mismo, o por lo menos eso nos dice nuestra experiencia matemática al redondear un número de 3 a 2 decimales. Pero nada más lejos de la realidad. La aplicación de las matemáticas a fenómenos naturales no consiste en acarrear un decimal de menos en un par de operaciones sino en cientos de miles y/o millones de cálculos; es el efecto "bola de nieve".

Los sistemas dinámicos, son sistemas que varían con el paso del tiempo, tales como la teoría maltusiana de población y recursos, la meteorología, los seísmos, los movimientos que efectúa un chorro de café humeante al entrar en contacto con la leche de un taza (mecánica de fluidos), el giro impredecible de una noria de agua cuando su caudal es inusitadamente acelerado, la gran mancha de Júpiter, las fluctuaciones económicas de los precios, etc.

Es en los sistemas dinámicos donde podemos usar el término "caos" y donde una variación mínima de las condiciones iniciales supone un comportamiento totalmente distinto del esperado por parte del sistema. Es decir, que un sistema podrá ser caótico cuando su comportamiento sea impredecible. Entonces la pregunta es obvia:

Si el caos no puede predecir su comportamiento ¿qué puede hacer el caos por los sistemas dinámicos?

El caos es determinista al estudiar uno de estos sistemas, si se trata en su globalidad. No podrá predecir el estado futuro del mismo pero sí modelar su comportamiento general.

Al leer estas líneas, os habrán venido a la cabeza ideas como desorden, azar, complejidad, impredicibilidad, en resumen, lo que los científicos identifican por Caos.

Estos adjetivos y otros similares se irán transformando en vuestras mente, o al menos esa es la intención de esta web, y a través de un lento ‘morphing’ pasarán a convertirse en desorden ordenado, belleza, simplicidad compleja, …

Estos sistemas pueden comportarse de diferentes formas, pero muchos de ellos tras suficientes iteraciones (repetición de un cálculo simple) de las funciones que los determinan su función tiende a estabilizarse en uno o más valores. Este conjunto de valores para los cuales la funciónf(x)se estabiliza cuando el número de iteraciones tiende a infinito (8), se denomina "atractor".

Características de los sistemas caóticos

 

Noto tu esceptismo y contrariedad. Sigue leyendo y cambiarás de opinión.

Ahora toca el turno a Edward Lorenz y al primer atractor, aquel que simboliza el efecto mariposa: el atractor de Lorenz, busca el artículo en la sección de Fractales.

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Un problema inacabado

Este es otro de los muchos ejemplos de lo unidos que están conceptos tan antagónicos como simplicidad y complejidad. El enunciado que voy a usar es bien simple:

Tomamos un número (semilla inicial) al que le aplicaremos un proceso iterativo consistente en que si es impar lo multiplicaremos por 3 y le sumaremos 1, en caso contrario (que sea par) lo dividiremos entre 2. Al resultado obtenido le aplicaremos el mismo procedimiento y así sucesivamente hasta que se entre en un bucle sin salida.

Gráficamente, la iteración a seguir, sería:

	si xn par	xn/2
xn+1=
	si xn impar	3xn+1

Entenderemos por Periodo (P) el número de iteraciones calculadas antes de que la sucesion de resultados caiga en un bucle sin salida. Pongamos varios ejemplos con semillas iniciales distintas para x₀:

x0=1	x0=3	x0=6
4	10	3
2	5	10
1	16	5
	8	16
	4	8
	2	4
	1	2
		1
P=3	P=7	P=8

¿Por qué no he tomado valores de x₀ consecutivos?

Fácil. Si hubiera cogido x₀=2 la sucesión hubiera caído al valor 1, si x₀=4 la sucesión hubiera sido 2 y 1. Si hubiera cogido x₀=5 la sucesión sería 16, 8, 4, 2 y1, es decir, he escogido valores que no formen parte de las sucesiones que voy obteniendo, porque si no su comportamiento es previsible.

Fácilmente podemos transcribir el proceso a cualquier lenguaje. Pongamos por caso el Turbo Basic. Las modificaciones van a gusto del consumidor. Fijaros que el código es simple y limpio y puede casi entenderse aún sin saber programar.

cls input "Numero";n while n<>1 if (n mod 2=0) then n=n/2 print n; else n=3*n+1 print n; end if wend end

Llegados a este punto cabría preguntarse si todas las semillas iniciales acaban cayendo en el ciclo .. 4, 2, 1 o de si existen otros ciclos de caída. Los matemáticos llevan años trabajando en el problema de 3n+1 sin obtener resultados al respecto y no hay atisbo de resolución para un problema de enunciado tan simple pero de comportamiento tan complejo y caótico.

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Los complejos y los fractales

Para entender los fractales es necesario ciertos conocimientos matemáticos que no nos enseñan en la escuela elemental, sino en ciertos estudio superiores.

¿Es necesario comprender los números complejos para disfrutar de los fractales?

La verdad es que no, porque el gozo visual que sentimos al observar ciertos fractales surge en nuestra mente aún sin saber las 4 reglas elementales del cálculo, pero para entender el porqué de esa belleza, lo que se esconde en su interior y los secretos que nos aguardan al sumergirnos en ella necesitamos recurrir a los números complejos, pues los fractales son "hijos" de los complejos, viven, existen y se comprenden sólo gracias a estos números tan especiales.

De hecho, fractales tan bellos como el conjunto de Mandelbrot o los conjuntos de Julia, por citar los más famosos, se obtienen iterando una simple expresión compleja hasta el infinito ∞ y comprobando que tiene límite la sucesión creada.

Si no conoces el concepto de límite ni sucesión consulta el artículo correspondiente en la sección de Fractales que si no ha sido publicado es porque todavía estoy trabajando en él.

 

Concepto

El uso de números complejos es fundamental para la resolución de ecuaciones algebraicas en las que la solución es la raiz de un número negativo, es decir, ecuaciones del tipo:

¿Es resoluble?

Sabemos que un número + o - al elevarlo al cuadrado es siempre positivo, por tanto ¿qué número multiplicado por si mismo podrá tener el signo negativo?

La verdad es que en el campo de los Reales ninguno, por lo que para solucionar la expresión algebraica anterior hay que crear otro tipo de números con los cuales podamos evaluar dicha expresión: los complejos

Partimos creando un concepto nuevo, el deUnidad Imaginaria a la que llamaremos i y que cumple la condición:

con lo cual ya podemos resolver la ecuación:

Puestos a crear, creamos un conjunto de números llamados complejos que estarán compuestos de una parte real y otra imaginaria, respondiendo a la siguiente forma:

z=a+bi

	número	parte
a	real	real
b	real	imaginaria
i	imaginario	a

 

Así, podremos trabajar más fácilmente con las expresiones del tipo tratándolas de la siguiente forma:

 

Operaciones

Como la expresión de un número complejo es un binomio, para operar con ellos nos atendremos a las reglas ordinarias del álgebra teniendo en cuenta que:

Suma

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

ejemplo: (3+2i)+(-2-i)=1+i

Multiplicación

(a+bi)+(c+di)=ac+adi+bci+bdii=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i

ejemplo: (3+2i)*(-2-i)=-6+2+(-3-4)i=-4+(-7)i

Procediendo de idéntica forma obtendríamos los resultados de la siguiente tabla para las 4 operaciones básicas:

OPERACIONES
+	(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
-	(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
*	(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
/

El plano complejo

Los números complejos se representan en el eje de coordenadas llamado eje de Argand, en honor a su creador. El diagrama o eje de Argand está representado por un eje cartesiano donde la parte imaginaria ocupa las ordenadas y la parte real, las abcisas.

Así, vemos que:

En las abcisas (x) están representados todos los reales ya que forman parte de los complejos, siendo nula su parte imaginaria En las ordenadas (y) están representados los "imaginarios puros", que serán los complejos cuya parte real sea nula Que el complejo z=(3-2i) se representaría como intersección de sus dos partes (la real y la imaginaria

 

 

Con el diagrama de Argand podemos visualizar los números complejos como si fueran vectores, siendo su parte real y su parte imaginaria sus 2 coordenadas.

Al sumar gráficamente 2 complejos en el diagrama se comportan como si de 2 vectores (fuerzas) se tratase.

La multiplicación sigue las siguientes reglas:

el módulo del producto (distancia al origen) será el producto de los módulos de los factores el ángulo que forma el producto con el eje real (ángulo de fase o argumento del complejo) será la suma de los ángulos que forman los 2 factores

En la multiplicación podrán presentarse los siguientes casos:

al multiplicar 2 números reales positivos (ángulo 0°), el producto será otro real positivo (con ángulo 0°) al multiplicar 2 números reales negativos (ángulo 180 °), el producto será un real positivo (con ángulo 360° o si lo preferimos 0°) al multiplicar 2 números imaginarios puros de signo + (ángulo 90°), el producto será un real de signo - (con ángulo 180°) ejemplo: i*2i=-2 al multiplicar 2 números imaginarios puros de signo - (ángulo 270°), el producto será un real de signo - (con ángulo 270°+270°=540°=180°) ejemplo: -i*-2i=-2

Recapitulando

el producto de 2 números complejos cuelesquiera podrá ocupar cualquier lugar dentro del plano de Argand, todo dependerá de los ángulos de los complejos que multipliquemos.

Si quieres hacer operaciones con complejos con calculadora: aquí

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