1^er paso

Daremos un valor fijo a c, por ejemplo c=0.5 y un valor inicial a X, por ejemplo X₀=0.6. Los introduciremos en la función y obtenemos X₁₌0.12. Este valor lo metemos otra vez en la función y seguimos calculando e iterando. Recordemos que c sigue valiendo 0.5, pues es un valor fijo y prefijado de antemano.

Volvemos pues, al concepto de sucesión recurrente. Calcularemos unos cuantos términos y veremos que a cada valor de X_n,X_n+1 se hace más y más pequeña, es decir, que iterando suficiente veces tiende a 0, lo que se conoce en Análisis Matemático como que el límite en el infinito del término general de la sucesión tiende a 0.

2º paso

Probaremos con distintos valores de c y X₀y para que no os canseis los he reproducido en tabla inferior con suficientes iteraciones (las necesarias para la explicación).

Fijémonos que en el caso nº 1 con c=0.5 y X_o=0.6 la sucesión tiende a 0, pues a cada iteración se hace menor. En el caso nº 2 con c=2.5 y X_o=0.1 la sucesión de términos obtenidos en las sucesivas iteraciones tiende a 0.6 y en el caso nº 3 con c=3.2 y X_o=0.5 nos encontramos con que tras suficientes iteraciones, los resultados se repiten cada 2 términos. Entonces se dice que la función tiene un comportamiento 2-periódico. En el caso nº4 con c=3.5 y X_o=0.38 tiene un comportamiento 4-periódico y en el caso nº5 con c=3.555 y X_o=0.2 un comportamiento 8-periódico.

3^er paso

El comportamienton-periódico de la función depende del valor de c. De hecho, según sea c, podemos encontrarnos con comportamientos 16-periódico, 32-periódico, …, y en general, 2ⁿ-periódico.

El secreto del comportamiento caótico de la función, también está en el parámetro c, pues a partir de cierto valor de c la función se vuelve caótica.

Probaremos con c=3.9 y X_o=0.4 y calcularemos 200 o más iteraciones. Pincha aquí para abrir una nueva ventana con la tabla. Observaremos que no aparece ningún comportamiento repetitivo.

Su representación gráfica quedaría como sigue, siendo la recta y=x

El efecto mariposa

Cogeremos la función anterior X_n+1=3.9 X_n (1-X_n) y comenzaremos a iterar para el valor X_o=0.40001. Tan sólo apreciar que hemos variado el parámetro inicial en una cienmilésima.

Si comparamos la sucesión de resultados obtenida con la anterior (X_o=0.4) y representamos gráficamente la diferencia entre las 2 sucesiones, obtendríamos un gráfico como este:

Esta es otra representación del efecto mariposa del que tanto nos hablan. Es más bonita la mariposa de Lorenz, pero esta gráfica nos muestra lo diferente que puede ser el futuro dependiendo de un ridículo cambio en los parámetros iniciales.

Hacer notar que en la Naturaleza hay un incontable número de variables que pueden hacer cambiar el rumbo de las ecuaciones matemáticas que rigen su comportamiento. Sería, pues, como nuestro ejemplo de la "ecuación logística" pero multiplicado por un 1 y muchos 0. ¿Demasiada complejidad para una simple ecuación?