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Ya publiqué dos post sobre este mismo tema : Fractal Reality 1 y Fractal Reality 2, pero como una imagen (y si es en movimiento mucho mejor) vale más que mil palabras, aquí os dejo un vídeo muy ejemplificador de los fractales que podemos encontrar a nuestro alrededor.

Extraído de uno de los episodios del programa Redes, de Eduard Punset.

El programa entero de Redes lo podéis descargar con la mula. He mirado en la web desde la que me lo bajé pero los enlaces han desaparecido, si encuentro otra de descarga directa, actualizaré este post y la pondré.

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Lo del mueble fractal es como el chiste del pan de 3 kilos: ¡que tiene mucha miga!

Pero para miga las galletas de Sierpinski que me he encontrado por la Red. Le diré al compañero que da las Mates en el Colegio que las introduzca en la asignatura para incentivar los fractales en el currículo de la ESO

Si queréis ver el proceso de creación y cocción de tan matemáticas galletas, entrar aquí, y me avisáis para tomar café el día que os decidáis hacerlas.

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El diseño recursivo es otro de los aspectos que sorprenden de la geometría fractal y más si nos referimos al diseño de un armario.

El único problema es que para aprovechar al máximo la capacidad de sus cajones debemos tener una macrohabitación y situarlo en el centro.

Vamos, que práctico, lo que se dice práctico no es. Todo hay que decirlo. Visita la web del diseñador.

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Waclaw Sierpinski; Karl Menger

La alfombra de Sierpinski y la esponja de Menger comparten muchas cosas en común. Un simple vistazo a sus visualizaciones nos ayudará a comprender.

Alfombra de Sierpinski

Esponja de Menger

La alfombra de Sierpinski es la proyección al plano bi-dimensional de la esponja de Menger, o si en vez de ver cuadraditos pequeños nos quedamos con sólo sus lados horizontales se convierte en el Conjunto de Cantor.

Lo único sobresaliente es el estudio de su perímetro, el resto es fácilmente deducible mirando los fractales citados anteriormente.

Estudio de la alfombra

Tomando l como la longitud del cuadrado original, tenemos 4l de perímetro en la iteración 0.

A cada iteración el lado de los cuadraditos resultantes será de

Con lo que tendremos que en la 1ª iteración el perÍmetro resultante nos dará

Iteración	Perímetro
0	4l
1
2
3
…	…
n

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Las 3 dimensiones

Waclaw Sierpinski

El tetraedro de Sierpinski es la proyección del fámoso triángulo de Sierpinski al plano tridimensional, los triángulos se nos convierten en tetraedros y la 3ª dimensión nos esconde formas que quedan tapadas por los tetraedros dispuestos en primer plano.

Observa las 4 primeras iteraciones del tetraedro

Estudio del tetraedro

Su construcción sigue la misma pauta que el triángulo, con lo cual la longitud de la arista del tetraedro en la n-ésima iteración coincidirá con la del lado del triángulo de Sierpinski, es decir, si l=1

El número de tetraedros iguales en la n-ésima iteración vendrá expresado por:

La superficie total del tetraedro en la n-ésima iteración la calcularemos multiplicando el nº de tetraedros iguales por la superficie de uno de ellos, es decir

Si nos fijamos el área del tetraedro se mantendrá siempre constante, da igual en la iteración que la calculemos, pues las caras ocultas cubrirán exactamente los huecos externos.

Podemos comprobarlo en la 1ª iteración pues con 4 tetraedros es fácil entenderlo.

En cuanto al volumen en la n-ésim-a iteración, es evidente que multiplicaremos el volumen de uno por el nº de tetraedros en la n-ésima iteración, quedándonos

donde h (altura) en función del (arista) es

y A(base) o área de la base en función de la arista del tetraedro es

y sustituyendo nos queda finalmente

Y el volumen final es obvio si estudiamos el anterior término general:

A medida que aumentamos n, el tetraedro original se subdivide en 4ⁿ tetraedros secundarios que dajan multitud de huecos vacios del original, con lo cual cada vez tiene menos volumen (recordemos que el área permanerá constante) y en el límite su volumen será 0. Un estudio con muchas fórmulas pero que si lees detenidamente no tendrás problemas en asimilar.

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Waclaw Sierpinski

El matemático polaco Waclaw Sierpinski, creó el triángulo fractal más famoso del mundo.

Partiendo de un triángulo equilátero de lado la unidad, recortamos el triángulo equilátero ,con la base invertida y de lado 1/2 del anterior, del centro del triángulo resultante de la iteración anterior (que en la 1ª iteración será el de lado la unidad).

Generación del Triángulo de Sierpinski hasta la 5ª iteración

 

Estudio del triángulo

Para calcular el número de triángulos en la n-ésima iteración seguimos el método usado para el Cuadrado de Cantor, obteniendo:

Iteración	Nº triángulos
0
1
2
…	…
n

Y tomando la longitud del lado del triángulo original igual a 1 queda que la longitud de los lados de los triángulos en la n-ésima iteración es:

Iteración	long. lado
0
1
2
…	…
n

Para el cálculo del área de las sucesivas aproximaciones al triángulo de Sierpinski en la n-ésima iteración, nos fijaremos en su proceso de construcción.

Del triángulo original de área A₀, marcamos los puntos medios de sus lados y los unimos formando un triángulo invertido que eliminamos del original, habiendo dividido pues, el triángulo en 4 partes iguales despreciando la central y consiguiendo 3/4 del área original en la primera iteración.

Aplicando este proceso en las siguientes iteraciones obtenemos:

Iteración	área
0
1
2
…	…
n

Finalmente el área final del Triángulo de Sierpinski lo calcularemos, evidentemente con el límite del término general de la sucesión anterior:

 

Dimensión fractal

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Blaise Pascal

Como conocerás por Matemáticas, Blaise Pascal hizo aportaciones importantes a las Matemáticas y se codeo con personajes tan peculiares como Fermat. Entre sus aportaciones matemáticas nos dejó su famoso triángulo, llamado de Pascal en su honor, claro está.

Este triángulo nos muestra los números combinatorios y si observas y estudias con detalle el próximo gráfico puede ser que descubras su relación con otro famoso triángulo, pero en este caso fractal.

Si no ves la relación mira un poco más abajo y aprecia la disposición visual de los dígitos impares y pares en este curioso triángulo y evidentemente, verás una distribución en forma del famoso triángulo de Waclaw Sierpinski.

Los números pares serían los triángulos que vamos eliminando en sucesivas iteraciones.

Quizá el siguiente ejemplo sea mucho más gráfico.

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Karl Menger

La esponja de Karl Menger se construye bajo el mismo principio que el triángulo de Sierpinski, pero no con un triángulo sino con un cubo en 3 dimensiones.

Como una imagen vale más que mil palabras, aquí está la Esponja de Menger con unas pocas iteraciones. Otra forma de entender la esponja de Menger es partiendo de alfombra de Sierpinski, pero en el pano tridimensional.

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Niels Fabian Helge von Koch

Creado en 1904 por el matemático sueco Helgeron von Koch. También conocido como la Isla Tríada de Koch.

Es fácilmente representable con un lenguaje recursivo como es el Logo y en él encontramos la respuesta a la pregunta de Mandelbrot: ¿Cuánto mide la costa de Bretaña?

Para su construcción se comienza con un triángulo equilátero cuyos lados tengan longitud 1. En el centro de cada lado se añade otro nuevo triángulo equilátero de lado 1/3 del anterior, obteniendo así una bonita estrella de David, y así hasta el 8

Nos irá recordando a un copo de nieve perfecto, pero sus connotaciones matemáticas son aplastantes y sorprendentes:

Dimensión fractal

Estudiemos este ‘monstruo’ matemático de principios de siglo para entenderlo un poco mejor.

Origen

La Isla de Koch proviene de la curva creada originariamente por Helge von Koch.

En la primera iteración de su construcción partimos del segmento unidad, lo seccionamos en 3 partes iguales y sobre la central construimos un triángulo equilátero eliminando el tercio de la base, consiguiendo pues 4 segmentos de longitud 1/3 del original, es decir con una longitud de 4/3.

En la segunda iteración repetimos el proceso con cada uno de los 4 segmentos resultantes de la 1ª y así en sucesivas iteraciones.

Su construcción la puedes ver en los siguientes gráficos.

iteración 0

iteración 1

iteración 2

iteración 3

 

Si entiendes el método usado para el estudio de la Isla de Koch, también llamada Copo de nieve de Koch, no tendrás problemas para deducir el de la Curva.

Estudio del Copo de nieve de Koch

Partiendo de la base de que el lado del triángulo original (iteración 0) vale 1:

It.

a

lados

long. lado

nº triang.

Una vez hemos conseguido la ecuación de recurrencia del nº de triángulos en la n-ésima iteración, procederemos a calcular la ecuación de recurrencia del área de uno de los triángulos iguales para la n-ésima iteración

.

cálculo de la altura (h) en función del lado (l)

cálculo del área del triáng. equil. de lado l

 

Sustituyo en A(n), l (lado) por su valor en la n-ésima iteración, tomando como lado =1 nos quedará:

Y multiplico la ecuación del número de triángulos iguales que forman la isla en la n-ésima iteración por la del área de un triángulo en la iteración n-ésima obteniendo así la ecuación de recurrencia del área de la Isla de Koch en la n-ésima iteración, sumándole el área del triángulo original (iteración 0) que no forma parte de la serie.

Calculando el límite de la serie anterior obtendremos el valor del área final, a la que sumaremos el área del triángulo original (del que partimos) y que no existe en la sucesión pues recordemos que es la iteración 0.

Es decir, 8/5 del área del triángulo original, que como era de lado=1 nos queda

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Giuseppe Peano

Esta curva creada por Giuseppe Peano en 1900 tiene algo de especial y es que llena el plano en el que se representa, es decir que su dimensión fractal es 2.

Recuerda que la dimensión fractal de una curva está generalmente entre 1 y 2. La de Peano llega al límite, tomando el valor 2.

Dimensión fractal

La dimensión de esta curva es 2, igual que la superfície donde se dibuja, pues la curva rellena el plano en su totalidad (llegando al infinito, claro está).

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