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Las 3 dimensiones

Waclaw Sierpinski

El tetraedro de Sierpinski es la proyección del fámoso triángulo de Sierpinski al plano tridimensional, los triángulos se nos convierten en tetraedros y la 3ª dimensión nos esconde formas que quedan tapadas por los tetraedros dispuestos en primer plano.

Observa las 4 primeras iteraciones del tetraedro

Estudio del tetraedro

Su construcción sigue la misma pauta que el triángulo, con lo cual la longitud de la arista del tetraedro en la n-ésima iteración coincidirá con la del lado del triángulo de Sierpinski, es decir, si l=1

El número de tetraedros iguales en la n-ésima iteración vendrá expresado por:

La superficie total del tetraedro en la n-ésima iteración la calcularemos multiplicando el nº de tetraedros iguales por la superficie de uno de ellos, es decir

Si nos fijamos el área del tetraedro se mantendrá siempre constante, da igual en la iteración que la calculemos, pues las caras ocultas cubrirán exactamente los huecos externos.

Podemos comprobarlo en la 1ª iteración pues con 4 tetraedros es fácil entenderlo.

En cuanto al volumen en la n-ésim-a iteración, es evidente que multiplicaremos el volumen de uno por el nº de tetraedros en la n-ésima iteración, quedándonos

donde h (altura) en función del (arista) es

y A(base) o área de la base en función de la arista del tetraedro es

y sustituyendo nos queda finalmente

Y el volumen final es obvio si estudiamos el anterior término general:

A medida que aumentamos n, el tetraedro original se subdivide en 4ⁿ tetraedros secundarios que dajan multitud de huecos vacios del original, con lo cual cada vez tiene menos volumen (recordemos que el área permanerá constante) y en el límite su volumen será 0. Un estudio con muchas fórmulas pero que si lees detenidamente no tendrás problemas en asimilar.

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