La Esponja de Menger
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Karl Menger
La esponja de Karl Menger se construye bajo el mismo principio que el triángulo de Sierpinski, pero no con un triángulo sino con un cubo en 3 dimensiones.
Como una imagen vale más que mil palabras, aquí está la Esponja de Menger con unas pocas iteraciones. Otra forma de entender la esponja de Menger es partiendo de alfombra de Sierpinski, pero en el pano tridimensional.
Estudio de la esponja
El nº de cubos en la n-ésima iteración es simple de calcular, pues en la 1ª iteración conseguiríamos un cubo de Rubik, es decir 33=27 cubos iguales.
Agujereando el cubo original por los centros de sus caras eliminaremos 7 cubos, quedándonos con sólo 20.
Repitiendo el mismo proceso en la 2ª iteración obtendremos 20×20 cubos y haciendo extensivo el proceso en sucesivas iteraciones tenemos:
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Iteración |
nº cubos |
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0 |
1=200 |
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1 |
20=201 |
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2 |
400=202 |
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3 |
8000=203 |
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… |
… |
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n |
20n |
La iteración a aplicar para construir la esponja nos obliga a dividir cada arista en 3 partes para así, al seccionarlo, conseguir 33=27 cubos iguales, de los cuales eliminaremos 7 [6 (los centrales de cada cara)+1(el interno)].
Si partimos de que la arista primitiva toma el valor 1, la longitud de la arista de los cubos resultantes en la n-ésima iteración será
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Iteración |
long. arista |
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0 |
1=(1/3)0 |
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1 |
1/3=(1/3)1 |
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2 |
1/9=(1/3)2 |
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3 |
1/27=(1/3)3 |
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… |
… |
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n |
(1/3)n |
A poco que nos hayamos fijado, observaremos que este resultado coincide con la longitud del lado para el cuadrado de Cantor, pues en el proceso de construcción dividimos por 3 el cuadrado y/o arista del caudrado y/o cubo.
Para calcular el volumen en la n-ésima iteración, multiplicaremos el nº de cubos generados en la n-ésima iteración por el columen de cada uno.
El volumen de cada uno de los cubos es 20/27 de su arista al cubo, con lo cual
nº cubos*(29/27)l3
y partiendo de un lado y/o arista igual a 1
El volumen final será el límite de la anterior expresión:
La superficie en la n-ésima iteración, sin tener en cuenta las caras coincidentes vendrá expresada por
6*(1/9)n*20n
Calculando el límite obtendremos la superficie final
Características
| Superficie |
infinito
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| Volumen |
0
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Junio 8th, 2008 at 1:27
Esta muy interesante el estudio sobre la Esponja de Menger, pero me gustaría aprender un poco más sobre ella, por ende les agradecería si me pueden hacer el favor de colaborarme.