Calculadora y Caos (Parte 1)

Sucesión recurrente

Fijémonos en una sucesión recurrente expresada algebraicamente:

X_n+1=f (X_n)

Esta expresión indica como calcular el siguiente término (X_n+1) a partir del anterior (X_n ) mediante una operación matemática. Esta operación matemática es la función (f), por lo tanto f puede ser el seno, coseno, raiz cuadrada o cualquier otra combinación de las funciones conocidas. Estas funciones no tienen porque pertenecer únicamente al ámbito de los números reales, las funciones complejas también tienen cabida y de hecho, son las relacionadas con los fractales, pero no voy a complicar excesivamente la cosa. Ahora lo importante es entender el concepto de "sucesión recurrente" y como podemos crear funciones caóticas.

En este tipo de sucesiones, "iterar" significa calcular el siguiente término de la sucesión, pero para ello hay que calcular el anterior, que a su vez depende del anterior, … Este es el motivo de que para comenzar tengamos que dar un valor arbitrario a X₀. Veamos un ejemplo:

Estamos ante un "sistema lineal", en el que puntos de arranque parecidos dan sucesiones parecidas.

No todos los sistemas evolucionan de forma similar y partiendo de valores ligeramente diferentes pueden tomar derroteros bien distintos. Veamos como evoluciona la siguiente función y a que dos sucesiones da lugar ese mínimo cambio inicial que experimenta la variable X₀.

Fijémonos que para X₀=0.50 la sucesión se estabiliza en la primera iteración y que para X₀=0.51 no se estabiliza sino que va disminuyendo de forma creciente. Podríamos decir que para X₀=0.50 la sucesión es atraida hacia el punto 3.5, pero estoy adelantando el orden natural de la explicación. Ya volveremos a ese punto de atracción más tarde.

Veamos otro ejemplo mucho más clarificador para nuestros propósitos. Fijémonos en la siguiente tabla y en como evolucionan las sucesiones para los distintos valores iniciales dados a X₀.

Observamos que el comportamiento es totalmente distinto para las 2 sucesiones y que toma caminos diferentes. Tras unas pocas iteraciones nadie puede deducir que los puntos de inicio de la función están tan próximos pues ambas sucesiones, a primera vista, siguen un "comportamiento caótico". Es pues, un "sistema caótico".

Ecuación logística

El ejemplo de sistema caótico propuesto con anterioridad se basa en la conocida "ecuación logística" tan utilizada en el estudio de poblaciones. Acordémonos de los ejemplos típicos de estudio:

• población aislada de conejos sometida únicamente a la variable alimento
• modelos presa-depredador
• Ley de Malthus

X_n+1=c X_n (1-X_n)

Esta ecuación logística se usó muchísimo a finales del siglo XIX y principios del XX, por su carácter impredecible y por su posibilidad de ajustar el parámetro ca diversas restricciones, de ahí que se le llame "factor ecológico" (climatología, depredadores, desastres naturales, escasez de alimento, …).

Desde luego que se puede jugar con ecuaciones de este tipo para representar evoluciones ficticias de poblaciones animales, pero no pretendamos sacar conclusiones reales porque no se ajusta a la realidad y la ecuación carece del rigor científico necesario.

Manos a la obra

Ahora toca crear caos y para ello nada mejor que hacer uso de la calculadora científica de nuestro sitema operativo o de una hoja de cálculo tipo Excel. Opción esta última mucho más recomendable pues ganaremos tiempo y evitaremos errores.

Partamos de una función. No hace falta que sea complicada, el caos tiene la manía de aparecer en la simplicidad. Por ejemplo la "ecuación logística" vista anteriormente y formulada por P. F. Verhulst en 1845 para explicar el crecimiento de una población de una especie que se reproduce en un entorno cerrado sin ningún tipo de influencia externa.

X_n+1=c X_n (1-X_n)

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